4x²+4xy+y²-3x=0.....①
は、放物線、双曲線、楕円のどれか?
また、それらの二次曲線をどのように移動した曲線か?
①を行列を使って表す。
2×2行列
A=
4  2
2  1
とする。

列ベクトル
f=
-3
0

列ベクトル
p=
x
y
とする。

pベクトルの転置をp^t
と書く。すなわち、
p^t=(x,y)

fベクトルの転置をf^t
と書く。すなわち、
f^t=(-3,0)


以上を使い①は

p^tAp+(f^t)p=0と書ける。.....②

対称行列
a  b
b  d
の固有多項式
(a-x)(d-x)-b²=0
x²-(a+d)x+ad-b²=0
(x-α)(x-β)=0

a+d=α+β
αβ=ad-b²


ad-b²=0だったら、
固有値は
0とαになり
0  0
0  α
と対角化されて
[x,y]A[x,y]^(t)+(-3,0)[x,y]^(t)=0
[0,αy][x,y]^(t)-3x=0
αy²=3xとなり放物線になります。


αβ>0
の固有値のときは固有値は
αとβになり
α  0
0  β
と対角化されて

[x,y]A[x,y]^(t)-3x=0
[αx,βy][x,y]^(t)=3x
αx²+βy²=3xとなり楕円になります。

αβ<0
の固有値のときは双曲線

[x,y]A[x,y]^(t)-3x=0
[αx,-βy][x,y]^(t)=3x
αx²-βy²=3x
となり双曲線になります。

この問題の場合、A=
4  2
2  1
固有多項式は、(4-λ)(1−λ)-4=λ²−5λ+4-4=λ(λ-5)=0で、固有値は0と5だから、放物線になる。

それでは、放物線の標準化の形y²=4pxにする。

2×2行列
A=
4  2
2  1

列ベクトル
f=
-3
0

列ベクトル
p=
x
y
とする。

pベクトルの転置をp^t
と書く。すなわち、
p^t=(x,y)

fベクトルの転置をf^t
と書く。すなわち、
f^t=(-3,0)


以上を使い①は

p^tAp+(f^t)p=0と書ける。.....②
これを標準化するには、
Aを対角化した行列をB
あらたな座標系のベクトルをu、gとして
u^tBu+(g^t)u=0
とすればいい。


Aを対角線化する行列をPとする
Aの固有値を計算すると
0と5
よって、Aを対角化した行列Bは
B=
0  0
0  5

P=
1/√5   2/√5
-2/√5  1/√5

P^t=
1/√5  -2/√5
2/√5  1/√5

これよりB=P^tAP
になった。P^t=P^(-1)であるので、
PBP^t=Aになる。これを②に代入

p^t(PBP^t)p+(f^t)p=0
((P^tp)^t)B(P^tp)+(f^t)P(P^tp)=0


((P^tp)^t)B(P^tp)+((P^tf)^t)P(P^tp)=0
に変形できて

あらたな座標系u=P^tp, P^tf=gとすれば、
目的の標準化
u^tBu+(g^t)u=0
になった。

g^t=(P^tf)^t=-3/√5(1,2)
u^t=(X,Y)とすれば、
5Y²-3/√5(X+2Y)=0


これらの座標変換は
u=P^tp
具体的には、
X=x/√5-2y/√5
Y=2x/√5+y/√5

という座標変換で
すなわち、
cosθ=1/√5
sinθ=2/√5
だから
tanθ=2だけ回転させた変換である。
x=X/√5+2X/√5
y=-2X/√5+y/√5
にして、①に代入すると


5√5Y²-6Y-3X=0
(Y-3√5/25)²=3√5/25(X+3√5/25)
に変換されます。


これは
y²=4px
という放物線の標準形だから
y=ax²にするにはさらに左回り90°回転させる必要があります。

そうすると
y=(25/3√5)(x+3√5/25)²+3√5/25
という放物線になります。


以上より
y=(5√5/3)x²
をまずは、
x方向に-3√5/25
y方向に3√5/25
平行移動させて
放物線の頂点を中心に右に90°回転させて、さらにtanθ=2をみたす角度だけ原点を中心に右回転させると
4x²+4xy+y²-3x=0
になる。

または、y=(5√5/3)x²
x方向に-3/(5√5)
y方向に-3/(5√5)
平行移動させて、
右回りにπ/2+tan^(-1)(2)だけ回転させる。
90°+63.4°=153.4°


検証します。

y=(5√5/3)x²

をまずは、
x方向に-3/(5√5)
y方向に-3/(5√5)
平行移動させます。

y+3/(5√5)=(5√5/3)(x+3/5√5)²
y=5√5/3(x²+6x/5√5+9/125)
=(5√5/3)x²+2x+3√5/25-3/(5√5)


y=(5√5/3)x²+2x
....②

これを右回りに90°回転さらに右回りにtanθ=2の回転
0 1
-1 0
の一次変換
1/√5   2/√5
-2/5    1/√5
との一次変換の合成

-2/√5   1/√5
-1/√5   -2/√5
という1次変換をすればいい。


X=-2x/√5+y/√5
Y=-x/√5-2y/√5

これを
(x,y)→(X,Y)
にすると、

x=(-2X-Y)/√5
y=(X-2Y)/√5

を②に代入すると、

4X²+4XY+Y²-3X=0
(2x+y)²=3x
になりました。

これは
X=-2x/√5+y/√5
という1次変換でした。
つまり、
cosθ=-2/√5
sinθ=-1/√5
tanθ=1/2
を満たすθです。
tan^(-1)(1/2)
≒26.57
ですが、
180°≦θ≦360°
の範囲で考えて+180
で、206.57°左回りに回転させた移動です。

これは、360°-206.57°
=153.43°右回りに回転させた移動でもあります。